Determine se a seqüência é convergente ou divergente. Se as seqüências convergem, encontre seus limites.
an=integral1n^1 d xraizx

Passo 1

O enunciado define a sequência
an=integral1n^1dxraizx
e pede para decidir se ela converge e, em caso afirmativo, encontrar o limite.
Conteúdo: cálculo de integral definida (Teorema Fundamental do Cálculo) e limites de sequência.

Passo 2

Primeiro, achamos a antiderivada de x^-1/2. Usando
integral x^alphadx = x^alpha+1alpha+1(alphaneq -1),
com alpha=-tfrac12, vem
integral x^-1/2dx = 2raizx

Passo 3

Agora avaliamos a integral de tfrac1n até 1:
an = l[2raizxr]x=1n^x=1 = 2raiz1 ;-; 2raiztfrac1n = 2 - 2raizn

Passo 4

Estudamos o limite de an quando ntoinfty. Como
2raiznto 0, segue
limntoinftyan = 2

Resposta

A sequência é convergente e
limntoinftyan = 2

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