Encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais Sn, obtenha uma fórmula para Sn em termos de n. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
sumn=1^+infty 1n(n+1)

Passo 1

O enunciado pede para a série
sumn=1^infty1n(n+1)
os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais Sn, uma fórmula geral para Sn em função de n, e verificar se a série converge (e, se convergir, achar sua soma). O conteúdo usado será decomposição em frações parciais e telescoping.

Passo 2

Vamos decompor o termo geral em frações parciais. Para todo n>=1,
1n(n+1)=1n-1n+1

Passo 3

Escrevendo a soma parcial de ordem n:
Sn=sumk=1^n1k(k+1) =sumk=1^nl(1k-1k+1r)
Isso telescopa, pois ao expandir os primeiros termos temos
l(1-tfrac12r)+l(tfrac12-tfrac13r)+cdots+l(tfrac1n-tfrac1n+1r) =1-1n+1
Portanto,
Sn=1-1n+1=nn+1

Passo 4

Usando Sn=tfracnn+1, obtemos os quatro primeiros termos:
S1=12, S2=23, S3=34, S4=45

Passo 5

Para determinar a convergência, calculamos
limntoinftySn=limntoinftynn+1=1
Como esse limite é finito, a série converge e sua soma é 1.

Resposta

Os quatro primeiros termos são
S1=12, S2=23, S3=34, S4=45
A fórmula geral é
Sn=nn+1
A série converge e
sumn=1^infty1n(n+1)=1

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