Encontre os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais
, obtenha uma fórmula para
em termos de
. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para a série
os quatro primeiros termos da sequência de somas parciais
, uma fórmula geral para
em função de
, e verificar se a série converge (e, se convergir, achar sua soma). O conteúdo usado será decomposição em frações parciais e telescoping.
Passo 2
Vamos decompor o termo geral em frações parciais. Para todo
,
Passo 3
Escrevendo a soma parcial de ordem
:
Isso telescopa, pois ao expandir os primeiros termos temos
Portanto,
Passo 4
Usando
, obtemos os quatro primeiros termos:
Passo 5
Para determinar a convergência, calculamos
Como esse limite é finito, a série converge e sua soma é
.
Resposta
Os quatro primeiros termos são
A fórmula geral é
A série converge e