Escreva a série infinita que produz a seqüência de somas parciais dada. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre sua soma.
Passo 1
O enunciado dá a sequência de somas parciais
e pede que a gente ache a série infinita cujo termo geral
satisfaça
Depois, determinar se essa série converge ou diverge, e em caso positivo achar sua soma.
Passo 2
Para encontrar o termo geral, usamos a definição de soma parcial:
Como
e
, vem
Passo 3
Logo, a série infinita é
Passo 4
Para ver a convergência, basta notar que a soma parcial dessa série é exatamente
e
.
Portanto a série não converge para um valor finito; ela diverge (para ).
Portanto a série não converge para um valor finito; ela diverge (para
Resposta
A série é
e ela diverge.