Escreva a série infinita que produz a seqüência de somas parciais dada. Determine também se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, encontre sua soma.
Sn=ln (1n+1)

Passo 1

O enunciado dá a sequência de somas parciais
Sn=ln!l(tfrac1n+1r)
e pede que a gente ache a série infinita cujo termo geral ak satisfaça
Sn=sumk=1^nak
Depois, determinar se essa série converge ou diverge, e em caso positivo achar sua soma.

Passo 2

Para encontrar o termo geral, usamos a definição de soma parcial:
ak = Sk - Sk-1
Como Sk=ln!l(tfrac1k+1r) e Sk-1=ln!l(tfrac1kr), vem
ak = ln!l(tfrac1k+1r) - ln!l(tfrac1kr) = ln!l(tfrac1/(k+1)1/kr) = ln!l(tfrackk+1r)

Passo 3

Logo, a série infinita é
sumk=1^inftyln!l(tfrackk+1r)

Passo 4

Para ver a convergência, basta notar que a soma parcial dessa série é exatamente
Sn = ln!l(tfrac1n+1r)
e limntoinftySn = limntoinfty[-ln(n+1)] = -infty.
Portanto a série não converge para um valor finito; ela diverge (para -infty).

Resposta

A série é
sumk=1^inftyln!l(tfrackk+1r),
e ela diverge.

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