Determine se a sequência dada converge ou diverge. Caso afirmativo, determinar seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência
converge ou diverge. Se ela converge, a gente também precisa achar qual é o limite dessa sequência. Vamos usar conceitos de cálculo de limites e propriedades dos logaritmos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Sabemos que
pode ser reescrito usando a propriedade dos logaritmos que diz que
. Aplicando isso:
Então, a sequência fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração conforme
cresce muito, ou seja, quando
tende ao infinito. Tanto o numerador
quanto o denominador
crescem sem limite, mas queremos ver como eles se comparam.
Podemos dividir o numerador e o denominador por
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito. Sabemos que
cresce sem parar, então
vai se aproximando de zero, porque estamos dividindo uma constante por algo que está aumentando infinitamente.
Portanto:
Resposta
A sequência
converge, e o seu limite é 1.