Determine se a sequência dada converge ou diverge. Caso afirmativo, determinar seu limite.
ln nln 2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência ln nln (2n) converge ou diverge. Se ela converge, a gente também precisa achar qual é o limite dessa sequência. Vamos usar conceitos de cálculo de limites e propriedades dos logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Sabemos que ln (2n) pode ser reescrito usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln(ab) = ln a + ln b. Aplicando isso:
ln (2n) = ln 2 + ln n
Então, a sequência fica:
ln nln (2n) = ln nln 2 + ln n

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração conforme n cresce muito, ou seja, quando n tende ao infinito. Tanto o numerador ln n quanto o denominador ln 2 + ln n crescem sem limite, mas queremos ver como eles se comparam.
Podemos dividir o numerador e o denominador por ln n:
ln nln 2 + ln n = 1ln 2ln n + 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito. Sabemos que ln n cresce sem parar, então ln 2ln n vai se aproximando de zero, porque estamos dividindo uma constante por algo que está aumentando infinitamente.
Portanto:
limn to infty 1ln 2ln n + 1 = 10 + 1 = 1

Resposta

A sequência ln nln (2n) converge, e o seu limite é 1.

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