Determine se a série dada é convergente ou divergente exprimindo-a como uma soma telescópica. Caso convirja, calcule sua soma.
sumn=1^infty ln n1+n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
sumn=1^infty lnnn+1
usando soma telescópica. Logo, o conteúdo é manipular logaritmos e reconhecer cancelamentos em soma parcial.

Passo 2

A ideia é usar a propriedade de logaritmo
lnnn+1 = ln n - ln(n+1)

Passo 3

Definimos a soma parcial até N:
SN = sumn=1^Nlnnn+1 = sumn=1^Nl(ln n - ln(n+1)r)
Ao expandir, observamos o caso telescópico:
SN = (ln1 - ln2) + (ln2 - ln3) + cdots + (ln N - ln(N+1)) = ln1 - ln(N+1)

Passo 4

Como ln1=0, temos
SN = -ln(N+1)
Em seguida, fazemos Ntoinfty:
limNtoinftySN = limNtoinftyl(-ln(N+1)r) = -infty
Isso mostra que a soma parcial não converge a um número finito.

Resposta

A série diverge (as somas parciais tendem a -infty).

Exercícios relacionados