Determine se a sequência dada converge ou diverge. Caso convirja, encontre seu limite.
(1+1n)^n

Passo 1

A gente tem a sequência an=l(1+tfrac1nr)^n. O conteúdo aqui é limite de sequência e o número e. Para resolver, vamos mostrar que ela é crescente e limitada e, depois, calcular o limite usando logaritmo e L’Hôpital.

Passo 2

Para mostrar que (an) é crescente, definimos bn=ln an=nlnl(1+tfrac1nr) e consideramos a função g(x)=xln(1+1/x) para x>0. Calculando a derivada:
g'(x)=lnl(1+tfrac1xr)-1x+1
Como para todo y>0 vale ln(1+y)>y/(1+y), com y=1/x temos ln(1+1/x)>1/(x+1) e, portanto, g'(x)>0. Logo bn é crescente em n e, consequentemente, an=exp(bn) também é crescente.

Passo 3

Agora vamos ver que (an) é limitada acima. Pela expansão binomial:
l(1+tfrac1nr)^n=sumk=0^nbinom nk1n^k =sumk=0^nn(n-1)dotsm(n-k+1)k!,n^k <=sumk=0^n1k! <sumk=0^infty1k!=e
Como sumk=0^infty1/k!<3, concluímos que an<3 para todo n. Portanto (an) é limitada acima.

Passo 4

Como (an) é crescente e limitada, ela converge para algum L. Para encontrar L, voltamos ao logaritmo:
limntoinftyln an=limntoinftynlnl(1+tfrac1nr) =limntoinftyln(1+1/n)1/n
Isso é uma forma 0/0, então aplicamos L’Hôpital: derivada do numerador é -1/[n^2(1+1/n)] e a do denominador é -1/n^2), de onde o quociente tende a 1. Logo limln an=1 e portanto an=exp(ln an)to e^1=e.

Resposta

A sequência converge e seu limite é e.

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