Determine se a sequência dada converge ou diverge. Caso convirja, encontre seu limite.
Passo 1
A gente tem a sequência
. O conteúdo aqui é limite de sequência e o número
. Para resolver, vamos mostrar que ela é crescente e limitada e, depois, calcular o limite usando logaritmo e L’Hôpital.
Passo 2
Para mostrar que
é crescente, definimos
e consideramos a função
para
. Calculando a derivada:
Como para todo
vale
, com
temos
e, portanto,
. Logo
é crescente em
e, consequentemente,
também é crescente.
Passo 3
Agora vamos ver que
é limitada acima. Pela expansão binomial:
Como
, concluímos que
para todo
. Portanto
é limitada acima.
Passo 4
Como
é crescente e limitada, ela converge para algum
. Para encontrar
, voltamos ao logaritmo:
Isso é uma forma
, então aplicamos L’Hôpital: derivada do numerador é
e a do denominador é
, de onde o quociente tende a
. Logo
e portanto
.
Resposta
A sequência converge e seu limite é
.