Questão 1. (2,5 pontos) Seja a sequência an de termos positivos definida por:
a1=1, e an+1=6an+1, para n >= 1
Suponha que a sequência seja convergente. Determine o seu limite.

Passo 1

Temos a sequência an de termos positivos definida por a1=1 e an+1=6an+1. O conteúdo é recorrência e ponto fixo de função, e queremos achar L=limntoinftyan supondo convergência.

Passo 2

Assumindo que anto L, passamos ao limite na recorrência e obtemos a equação de ponto fixo:
L=6L+1

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados de L=6L+1 por L+1 e chegamos à equação quadrática:
L(L+1)=6
L^2+L-6=0

Passo 4

Calculamos o discriminante:
De<a=1^2-4cdot1cdot(-6)=25
Assim as raízes são
L=-1pmraiz252=-1pm52
Ou seja, L=2 ou L=-3.

Passo 5

Como todos os termos an são positivos, descartamos L=-3 e ficamos com L=2.

Resposta

2

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