Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
12.)
\left\{\frac{n+\ln n}{n \ln n}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_{n}=\frac{n+\ln n}{n\ln n}
converge ou diverge. O conteúdo que vamos usar inclui manipulação algébrica de termos de sequência e propriedades de limites de soma de funções que tendem ao infinito.

Passo 2

Reescrevemos a_{n} separando em duas parcelas:
a_{n} = \frac{n}{n\ln n} \;+\;\frac{\ln n}{n\ln n} = \frac{1}{\ln n} \;+\;\frac{1}{n}.

Passo 3

Analisamos o limite de cada parcela quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln n}=0 \quad\text{pois }\ln n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0 \quad\text{pois }n\to\infty.

Passo 4

Como soma de duas quantidades que tendem a zero, temos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =0+0 =0.
Logo, a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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