Determine se a sequência dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos precisar. A questão nos dá uma sequência definida por
e nos pergunta se ela é convergente ou divergente. Para resolver isso, precisamos entender o que significa uma sequência convergente ou divergente, e como calcular o limite de uma sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência convergente. Uma sequência é dita convergente se, conforme os termos avançam (ou seja, conforme
aumenta), eles se aproximam de um valor específico chamado de limite da sequência. Se os termos não se aproximam de nenhum valor específico, a sequência é considerada divergente.
Passo 3
Vamos analisar a sequência
. Para diferentes valores de
, o termo
alterna entre 1 e -1:
- Para
par: , então o termo da sequência é . - Para
ímpar: , então o termo da sequência é .
Passo 4
Observamos que a sequência alterna entre 2 e 4 indefinidamente. Isso significa que, conforme
cresce, os termos não se aproximam de um único valor, mas continuam pulando entre esses dois números.
Passo 5
Já que os termos da sequência não se aproximam de nenhum valor específico e continuam alternando entre 2 e 4, podemos concluir que a sequência não possui um limite finito.
Resposta
A sequência
é divergente.