Determine se a sequência dada é convergente ou divergente.
n4^n+1

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
an = n4^n+1
e decidir se ela converge ou diverge. Isso é um problema de limites de sequências, onde geralmente aplicamos o teste da razão ou comparamos o crescimento exponencial com o polinomial.

Passo 2

Escrevemos
an = n4^n+1 = 14,n4^n
Defina
bn = n4^n,
de modo que an = tfrac14,bn. Basta então verificar o limite de bn.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão em bn:
bn+1bn = n+14^n+1n4^n = n+14,n = 14 + 14n
Como bn+1bnto tfrac14<1 quando ntoinfty, concluímos que bnto0.

Passo 4

Da relação an = tfrac14,bn segue que
limntoinftyan = 14limntoinftybn = 14cdot0 =0
Logo an converge.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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