(6.0) - Determine se a série dada é convergente ou divergente.
sumn=1^infty(-1)^n+1 1(2 n-1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar se a série sumn=1^infty (-1)^n+1 1(2n - 1)! converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testar a convergência delas. Vamos precisar entender sobre séries alternadas e aplicar algum critério de convergência.

Passo 2

Primeiro, observe que a série é uma série alternada porque o termo (-1)^n+1 alterna os sinais dos termos. Isso significa que os termos positivos e negativos se alternam conforme n aumenta.

Passo 3

Vamos lembrar do Critério da Série Alternada. Esse critério diz que uma série da forma sum (-1)^n an converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são decrescentes: an+1 <= an para todo n.
  2. limn to infty an = 0.

Passo 4

No nosso caso, an = 1(2n - 1)!. Vamos verificar a primeira condição: se os termos estão decrescendo. Como o fatorial cresce muito rápido, à medida que n aumenta, (2n - 1)! aumenta, então 1(2n - 1)! diminui. Logo, an+1 <= an está satisfazendo.

Passo 5

Agora, vamos verificar a segunda condição: o limite dos termos. Calculamos limn to infty 1(2n - 1)!. Sabemos que o fatorial cresce para infinito, então 1(2n - 1)! tende para 0 quando n tende para infinito.

Passo 6

Como ambas as condições do Critério da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série sumn=1^infty (-1)^n+1 1(2n - 1)! converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n+1 1(2n - 1)! converge.

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