(6.0) - Determine se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e testar a convergência delas. Vamos precisar entender sobre séries alternadas e aplicar algum critério de convergência.
Passo 2
Primeiro, observe que a série é uma série alternada porque o termo
alterna os sinais dos termos. Isso significa que os termos positivos e negativos se alternam conforme
aumenta.
Passo 3
Vamos lembrar do Critério da Série Alternada. Esse critério diz que uma série da forma
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes: para todo . -
.
Passo 4
No nosso caso,
. Vamos verificar a primeira condição: se os termos estão decrescendo. Como o fatorial cresce muito rápido, à medida que
aumenta,
aumenta, então
diminui. Logo,
está satisfazendo.
Passo 5
Agora, vamos verificar a segunda condição: o limite dos termos. Calculamos
. Sabemos que o fatorial cresce para infinito, então
tende para 0 quando
tende para infinito.
Passo 6
Como ambas as condições do Critério da Série Alternada são satisfeitas, podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge.