Encontre os comprimentos das curvas: (e^-t cos t, e^-t sen t, e^-t), 0 <= t <=+infty. Passo 1O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica r(t)=(e^-tcos t,,e^-tsin t,,e^-t) para 0<= t<+infty. Isso cai no conteúdo de comprimento de arco de curva no espaço, onde usamos a fórmula L=integrala^bl|r'(t)r|,dt. Vamos precisar derivar cada componente e depois integrar a norma do vetor derivada. Passo 2Derivando componente a componente, temos: Passo 3 r'(t)=l(-e^-t(cos t+sin t),,e^-t(cos t-sin t),,-e^-tr) Passo 4Para calcular |r'(t)| elevamos ao quadrado e somamos: Passo 5 |r'(t)|^2=e^-2tl[(cos t+sin t)^2+(cos t-sin t)^2+1r] Passo 6Observando que Passo 7 (cos t+sin t)^2+(cos t-sin t)^2=2(cos^2t+sin^2t)=2, Passo 8logo Passo 9 |r'(t)|^2=e^-2t(2+1)=3e^-2t Passo 10e portanto Passo 11 |r'(t)|=raiz3e^-t Passo 12Finalmente, integramos de 0 a +infty: Passo 13 L=integral0^inftyraiz3,e^-t,dt=raiz3l[-e^-tr]0^infty=raiz3(1-0)=raiz3 Resposta raiz3 MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados(6.0) - Determine se a série dada é convergente ou divergente. sumn=1^infty(-1)^n+1 1(2 n-1)! Determine se a sequência dada é convergente ou divergente. n4^n+1 Encontre os limites nos exercícios 1-12. lim (x, y) (1, pi6) x sen yx^2+1 (6.0) - Determine se a série dada é convergente ou divergente. sumn=1^infty 1(ln (n))^n