Encontre os comprimentos das curvas:
(e^-t cos t, e^-t sen t, e^-t), 0 <= t <=+infty.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva paramétrica r(t)=(e^-tcos t,,e^-tsin t,,e^-t) para 0<= t<+infty. Isso cai no conteúdo de comprimento de arco de curva no espaço, onde usamos a fórmula L=integrala^bl|r'(t)r|,dt. Vamos precisar derivar cada componente e depois integrar a norma do vetor derivada.

Passo 2

Derivando componente a componente, temos:

Passo 3

r'(t)=l(-e^-t(cos t+sin t),,e^-t(cos t-sin t),,-e^-tr)

Passo 4

Para calcular |r'(t)| elevamos ao quadrado e somamos:

Passo 5

|r'(t)|^2=e^-2tl[(cos t+sin t)^2+(cos t-sin t)^2+1r]

Passo 6

Observando que

Passo 7

(cos t+sin t)^2+(cos t-sin t)^2=2(cos^2t+sin^2t)=2,

Passo 8

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Passo 9

|r'(t)|^2=e^-2t(2+1)=3e^-2t

Passo 10

e portanto

Passo 11

|r'(t)|=raiz3e^-t

Passo 12

Finalmente, integramos de 0 a +infty:

Passo 13

L=integral0^inftyraiz3,e^-t,dt=raiz3l[-e^-tr]0^infty=raiz3(1-0)=raiz3

Resposta

raiz3

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