Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
cos (n pi3)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência
lcosl(tfracnpi3r)rn=1^infty
é crescente, decrescente ou não-monótona. Vamos usar a periodicidade da função cosseno e comparar termos consecutivos para ver se há algum tipo de monotonicidade.

Passo 2

Calculamos os primeiros termos usando a identidade de cosseno:
cosl(npi/3r) tem período 2pi, ou seja, período em n igual a 6.
Listando para n=1,2,dots,6:
cosl(tfrac1pi3r)=tfrac12,
cosl(tfrac2pi3r)=-tfrac12,
cosl(tfrac3pi3r)=-1,
cosl(tfrac4pi3r)=-tfrac12,
cosl(tfrac5pi3r)=tfrac12,
cosl(tfrac6pi3r)=1.

Passo 3

Analisando a sequência de valores
tfrac12,,-tfrac12,,-1,,-tfrac12,tfrac12,,1,;dots
vemos que passa de tfrac12 para -tfrac12 (decresce), depois de -1 para -tfrac12 (cresce), e em seguida de tfrac12 para 1 (cresce), e então repete esse ciclo. Há oscilações para cima e para baixo sem um único sentido.

Passo 4

Como a sequência não aumenta sempre nem diminui sempre — ela oscila — concluímos que não há monotonicidade.

Resposta

A sequência é não-monótona.

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