Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
5^n1+5^2 n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência an definida por
an = 5^n1 + 5^2n
e pede para decidir se ela é crescente, decrescente ou não-monótona.
Para isso, vamos usar o teste de monotonicidade comparando an+1 com an através da razão an+1an.

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 5^n+11+5^2(n+1)5^n1+5^2n =5;1+5^2n1+5^2n+2

Passo 3

Definindo x = 5^2n>0, reescrevemos
an+1an =5,1+x1+25x
Para verificar se an+1an<1, comparamos
5(1+x);<;1+25x Long<=ftrightarrow 5+5x<1+25x Long<=ftrightarrow 4<20x Long<=ftrightarrow x>15

Passo 4

Como x=5^2n>=5^2=25 para todo n>=1, temos sempre x>1/5. Logo
an+1an<1
para todo n>=1, isto é, an+1<an.

Resposta

A sequência 5^n1+5^2n é estritamente decrescente.

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