Prove que a sequência dada tem o limite abaixo.
2 n^25 n^2+1 25

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
an = 2n^25n^2+1
converge para tfrac25 quando ntoinfty. O conteúdo aqui é limite de sequência no infinito, e vamos usar tanto uma observação pelo quociente dominante quanto a prova com a definição varepsilon- N.

Passo 2

Para ver rapidamente a ideia, dividimos numerador e denominador por n^2:
an = 2n^25n^2+1 = 25 + tfrac1n^2
Como tfrac1n^2to0, segue que anto tfrac25.

Passo 3

Agora a prova formal via varepsilon. Calculemos
l|an - tfrac25r| = l|2n^25n^2+1 - 25r| = 25(5n^2+1)
Como 5n^2+1>=5n^2, temos
l|an - tfrac25r| <= 25cdot5n^2 = 225,n^2

Passo 4

Dado varepsilon>0, exigimos
225,n^2 < varepsilon Long<=ftrightarrow n^2 > 225,varepsilon Long<=ftrightarrow n > raiz225,varepsilon
Basta escolher
N = llceil raiztfrac225,varepsilonrrceil
para garantir que, sempre que n>= N, l|an - tfrac25r|<varepsilon. Isso conclui a prova.

Resposta

limntoinfty2n^25n^2+1 = 25

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