Resolva a equação integral:
y(x)=x^3+integral0^x(x-t) y(t) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação integral que está assim:
y(x) = x^3 + integral0^x(x-t) y(t) , dt
Aqui, a gente está trabalhando com Equações Integrais de Volterra do Segundo Tipo. Para resolver isso, vamos transformar essa equação integral em uma equação diferencial, que é mais fácil de resolver. Vamos precisar usar derivadas e entender como integrar funções que envolvem outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a integral de I(x) :
I(x) = integral0^x(x - t) y(t) , dt
Assim, a equação original fica:
y(x) = x^3 + I(x)

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x . A derivada de y(x) é y'(x) . A derivada de x^3 é 3x^2 . Para derivar I(x) , usamos a regra de Leibniz para derivadas de integrais que têm limites dependentes de x :
I'(x) = integral0^x y(t) , dt
Então, derivando a equação original:
y'(x) = 3x^2 + integral0^x y(t) , dt

Passo 4

Vamos chamar z(x) de:
z(x) = integral0^x y(t) , dt
Isso significa que a derivada de z(x) é y(x) :
z'(x) = y(x)
Substituindo isso na equação que encontramos para y'(x) :
z''(x) = y'(x) = 3x^2 + z(x)
Então, temos a seguinte equação diferencial:
z''(x) - z(x) = 3x^2

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Vamos resolver a parte homogênea primeiro:
z''(x) - z(x) = 0
A solução geral da equação homogênea é:
zh(x) = A e^x + B e^-x
Onde A e B são constantes que vamos determinar depois.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( zp(x) ) para a equação completa:
z''(x) - z(x) = 3x^2
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, assumimos que a solução particular também é um polinômio do mesmo grau:
zp(x) = Cx^2 + Dx + E
Vamos derivar duas vezes:
zp'(x) = 2Cx + D
zp''(x) = 2C
Substituindo na equação diferencial:
2C - (Cx^2 + Dx + E) = 3x^2
Isso dá:
- Cx^2 + (2C - D)x + (-E) = 3x^2
Para que isso seja válido para todo x , os coeficientes devem ser iguais:
- C = 3 Rightarrow C = -3
2C - D = 0 Rightarrow D = 2C = -6
- E = 0 Rightarrow E = 0
Então, a solução particular é:
zp(x) = -3x^2 -6x

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
z(x) = zh(x) + zp(x) = A e^x + B e^-x -3x^2 -6x

Passo 8

Vamos usar as condições iniciais para encontrar A e B . Sabemos que:
z(0) = integral0^0 y(t) , dt = 0
Substituindo x = 0 na solução geral:
0 = A e^0 + B e^0 - 0 - 0 Rightarrow A + B = 0
Outra condição vem da derivada:
z'(x) = y(x) = 3 e^x -3 e^-x -6x -6
No x = 0 :
y(0) = 3 e^0 + 3 e^0 -0 -6 = 3 + 3 -6 = 0
Isso confirma que nossas condições estão corretas.

Passo 9

Usando A + B = 0 e a derivada:
z'(x) = A e^x - B e^-x -6x -6
No x = 0 :
z'(0) = A - B -6 = 0
Como A + B = 0 , substituindo B = -A :
A - (-A) -6 = 2A -6 = 0 Rightarrow A = 3
B = -3

Passo 10

Agora, substituindo A e B na solução geral:
z(x) = 3 e^x -3 e^-x -3x^2 -6x
E lembrando que:
y(x) = z'(x) = 3 e^x +3 e^-x -6x -6

Resposta

A solução da equação integral é:
y(x) = 3 e^x + 3 e^-x -6x -6

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