Resolva a equação integral:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação integral que está assim:
Aqui, a gente está trabalhando com Equações Integrais de Volterra do Segundo Tipo. Para resolver isso, vamos transformar essa equação integral em uma equação diferencial, que é mais fácil de resolver. Vamos precisar usar derivadas e entender como integrar funções que envolvem outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a integral de
:
Assim, a equação original fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. A derivada de
é
. A derivada de
é
. Para derivar
, usamos a regra de Leibniz para derivadas de integrais que têm limites dependentes de
:
Então, derivando a equação original:
Passo 4
Vamos chamar
de:
Isso significa que a derivada de
é
:
Substituindo isso na equação que encontramos para
:
Então, temos a seguinte equação diferencial:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. Vamos resolver a parte homogênea primeiro:
A solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar depois.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é um polinômio de segundo grau, assumimos que a solução particular também é um polinômio do mesmo grau:
Vamos derivar duas vezes:
Substituindo na equação diferencial:
Isso dá:
Para que isso seja válido para todo
, os coeficientes devem ser iguais:
Então, a solução particular é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 8
Vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
. Sabemos que:
Substituindo
na solução geral:
Outra condição vem da derivada:
No
:
Isso confirma que nossas condições estão corretas.
Passo 9
Usando
e a derivada:
No
:
Como
, substituindo
:
Passo 10
Agora, substituindo
e
na solução geral:
E lembrando que:
Resposta
A solução da equação integral é: