Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência dada por
é crescente, decrescente ou não-monótona. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno funciona, especialmente quando o ângulo está multiplicado por um número inteiro
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno,
, dá a proporção entre o cateto oposto e a hipotenusa em um triângulo retângulo com ângulo
. Agora, quando a gente coloca
dentro do seno, onde
é um número inteiro, precisamos ver o que acontece com o valor de
.
Passo 3
Sabemos que
radianos correspondem a 180 graus, o que significa que estamos olhando para múltiplos de 180 graus. Olhando para o círculo trigonométrico, vemos que em qualquer múltiplo inteiro de
, o seno é exatamente zero. Ou seja:
para todo número inteiro
.
Passo 4
Então, a sequência
fica assim:
Cada termo da sequência é igual a zero, não importa qual valor de
a gente pegue.
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento dessa sequência. Uma sequência é:
- Crescente se cada termo seguinte é maior ou igual ao anterior.
- Decrescente se cada termo seguinte é menor ou igual ao anterior.
- Não-monótona se não segue nenhum dos padrões acima.
Como todos os termos são iguais a zero, cada termo seguinte é igual ao anterior. Isso significa que a sequência está tanto crescente quanto decrescente ao mesmo tempo. Nesse caso, dizemos que a sequência é monótona.
Resposta
A sequência
é monótona, pois todos os seus termos são iguais a zero.