Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
sen(n pi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência dada por sin(n pi) é crescente, decrescente ou não-monótona. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno funciona, especialmente quando o ângulo está multiplicado por um número inteiro n.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno, sin(theta), dá a proporção entre o cateto oposto e a hipotenusa em um triângulo retângulo com ângulo theta. Agora, quando a gente coloca n pi dentro do seno, onde n é um número inteiro, precisamos ver o que acontece com o valor de sin(n pi).

Passo 3

Sabemos que pi radianos correspondem a 180 graus, o que significa que estamos olhando para múltiplos de 180 graus. Olhando para o círculo trigonométrico, vemos que em qualquer múltiplo inteiro de pi, o seno é exatamente zero. Ou seja:
sin(n pi) = 0
para todo número inteiro n.

Passo 4

Então, a sequência sin(n pi) fica assim:
0, 0, 0, 0, dots
Cada termo da sequência é igual a zero, não importa qual valor de n a gente pegue.

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa sequência. Uma sequência é:
  • Crescente se cada termo seguinte é maior ou igual ao anterior.
  • Decrescente se cada termo seguinte é menor ou igual ao anterior.
  • Não-monótona se não segue nenhum dos padrões acima.
Como todos os termos são iguais a zero, cada termo seguinte é igual ao anterior. Isso significa que a sequência está tanto crescente quanto decrescente ao mesmo tempo. Nesse caso, dizemos que a sequência é monótona.

Resposta

A sequência sin(n pi) é monótona, pois todos os seus termos são iguais a zero.

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