Um estudante caminha diariamente de casa para o colégio, onde não é permitido ingressar após as 7 h 30 min . No trajeto ele é obrigado a cruzar três ruas. Em cada rua, a travessia de pedestres é controlada por sinais de trânsito não sincronizados. A probabilidade de cada sinal estar aberto para o pedestre é igual a 2 / 3 e a probabilidade de estar fechado é igual a 1 / 3.
Cada sinal aberto não atrasa o estudante, porém cada sinal fechado o retém por 1 minuto. O estudante caminha sempre com a mesma velocidade.
Quando os três sinais estão abertos, o estudante gasta exatamente 20 minutos para fazer o trajeto.
Em certo dia, o estudante saiu de casa às 7 h 09 min .
Determine a probabilidade de o estudante, nesse dia, chegar atrasado ao colégio, ou seja, chegar após as 7 h 30 min .

Passo 1

O enunciado diz que um estudante sai de casa às ,7,h,09,min para chegar ao colégio, onde é proibido ingressar após as ,7,h,30,min. No trajeto ele cruza três sinais independentes, cada um aberto com probabilidade tfrac23 (sem atraso) e fechado com probabilidade tfrac13 (atraso de 1 minuto). Sem atrasos o percurso leva 20 minutos. Queremos a probabilidade de ele chegar atrasado (após ,7,h,30,min). O conteúdo usado será distribuição binomial para eventos independentes.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X = número de sinais fechados entre os 3. Cada sinal fecha com probabilidade tfrac13, então
X sim Binomiall(n=3,;p=tfrac13r)
O tempo total de percurso em minutos é
T = 20 + X
Ele sai às ,7,h,09,min. Para chegar após ,7,h,30,min precisamos
7:09 + T > 7:30 Longrightarrow T > 21 Longrightarrow 20 + X > 21 Longrightarrow X > 1 Longrightarrow X >= 2

Passo 3

Queremos P(atraso) = P(X>=2) = P(X=2) + P(X=3). Pela fórmula da binomial:
P(X=k) = binom3kl(tfrac13r)^kl(tfrac23r)^3-k

Passo 4

Calculando:
P(X=2) = binom32l(tfrac13r)^2l(tfrac23r)^1 = 3cdot tfrac19cdot tfrac23 = tfrac627,
P(X=3) = binom33l(tfrac13r)^3 = tfrac127
Portanto
P(X>=2) = tfrac627 + tfrac127 = tfrac727

Resposta

tfrac727

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