Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona.
3 n-14 n+5.

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = 3n - 14n + 5
e pede para determinar se ela é crescente, decrescente ou não monótona. O conteúdo é monotonicidade de sequência, e vamos usar a técnica de comparar an+1 com an.

Passo 2

Escrevemos o termo seguinte an+1 em função de n:
an+1 = 3(n+1) - 14(n+1) + 5 = 3n + 24n + 9

Passo 3

Formamos a diferença entre termos consecutivos para ver o sinal de an+1 - an:
an+1 - an = 3n + 24n + 9 ;-;3n - 14n + 5 = (3n+2)(4n+5);-;(3n-1)(4n+9)(4n+9)(4n+5)

Passo 4

Calculamos o numerador dessa fração:
(3n+2)(4n+5) = 12n^2 +23n +10, (3n-1)(4n+9) = 12n^2 +23n -9,
logo
(3n+2)(4n+5) - (3n-1)(4n+9) = 19
Portanto
an+1 - an = 19(4n+9)(4n+5)

Passo 5

Para todo ninN temos 4n+5>0 e 4n+9>0, então o denominador é positivo e o numerador é 19>0. Logo
an+1 - an > 0
para todo n, ou seja, an+1>an.

Resposta

A sequência 3n - 14n + 5 é estritamente crescente.

Exercícios relacionados