Determine se a sequência dada é crescente, DECRESCENTE OU NÃO MONÓTONA.
\left\{\frac{n+3}{n^{2}+6 n+5}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_n = \frac{n+3}{n^2 + 6n + 5}
é crescente, decrescente ou não monótona. O conteúdo que vamos usar é o teste de monotonicidade para sequências reais, que consiste em analisar o sinal de
a_{n+1} - a_n.

Passo 2

Escrevemos
a_n = \frac{n+3}{(n+1)(n+5)}, \quad a_{n+1} = \frac{(n+1)+3}{((n+1)+1)((n+1)+5)} = \frac{n+4}{(n+2)(n+6)}.
Então
a_{n+1} - a_n = \frac{n+4}{(n+2)(n+6)} \;-\;\frac{n+3}{(n+1)(n+5)}.

Passo 3

Colocando no mesmo denominador positivo (n+1)(n+2)(n+5)(n+6), o numerador é
N = (n+4)(n+1)(n+5)\;-\;(n+3)(n+2)(n+6).
Expandindo cada termo:
(n+4)(n+1)(n+5)=n^3+10n^2+29n+20,
(n+3)(n+2)(n+6)=n^3+11n^2+36n+36,
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N = (n^3+10n^2+29n+20) - (n^3+11n^2+36n+36) = -\bigl(n^2+7n+16\bigr).
Para todo n\in\mathbb{N}, n^2+7n+16>0, então N<0. Assim
a_{n+1}-a_n < 0.

Passo 4

Como a diferença a_{n+1}-a_n é sempre negativa, a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência \{(n+3)/(n^2+6n+5)\} é estritamente decrescente.

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