Determine se a sequência dada é crescente, DECRESCENTE OU NÃO MONÓTONA.
\left\{\frac{3 n+2}{4 n-3}\right\}

Passo 1

Temos a sequência
a_{n} = \frac{3n + 2}{4n - 3},
e queremos decidir se ela é crescente, decrescente ou não monótona. O método será usar a definição de sequência monótona, isto é, analisar o sinal de
a_{n+1} - a_{n}.

Passo 2

Primeiro escrevemos a_{n+1} e montamos a diferença:
a_{n+1} = \frac{3(n+1) + 2}{4(n+1) - 3} = \frac{3n + 5}{4n + 1},
a_{n+1} - a_{n} = \frac{3n + 5}{4n + 1} - \frac{3n + 2}{4n - 3}.

Passo 3

Colocando em denominador comum e simplificando o numerador, temos
a_{n+1} - a_{n} = \frac{(3n+5)(4n-3) - (3n+2)(4n+1)}{(4n+1)(4n-3)} = \frac{12n^2 +11n -15 \;-\;(12n^2+11n+2)}{(4n+1)(4n-3)} = \frac{-17}{(4n+1)(4n-3)}.

Passo 4

Note que para todo n\in\mathbb{N} o denominador (4n+1)(4n-3) é positivo. Assim
a_{n+1} - a_{n} = \frac{-17}{(4n+1)(4n-3)} < 0.

Passo 5

Como a diferença a_{n+1}-a_{n} é sempre negativa, concluímos que
a_{n+1} < a_{n}
para todo n. Logo, a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência é decrescente.

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