Usando a fórmula de Taylor, calcule: (Maclaurin)
f(x)=\frac{2-\cos x}{x^{3}}, SENDO a=0, ATÉ o 1º TERMO

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Maclaurin (i.e.\ em torno de a=0) da função
f(x)=\frac{2-\cos x}{x^{3}}
até o primeiro termo não nulo da série.

Passo 2

Começamos expandindo \cos x em torno de 0 até a ordem x^2:
\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + O(x^{4}).

Passo 3

Substituímos na expressão 2-\cos x:
2 - \cos x = 2 - \Bigl(1 - \frac{x^{2}}{2} + O(x^{4})\Bigr) = 1 + \frac{x^{2}}{2} + O(x^{4}).

Passo 4

Agora dividimos por x^{3}:
f(x) = \frac{2-\cos x}{x^{3}} = \frac{1 + \tfrac{x^{2}}{2} + O(x^{4})}{x^{3}} = x^{-3} + \tfrac12\,x^{-1} + O(x).

Passo 5

Dessa expansão, o primeiro termo (mais singular) é
x^{-3}.

Resposta

f(x)\approx \frac{1}{x^{3}}.

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