Use o teste da razão para mostrar que cada SÉRIE CONVERGE OU DIVERGE E NÃO TEM LIMITE ZERO.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{k}}{k+2}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{k}}{k+2}
usando o teste da razão. Trata-se de uma série de potências em torno de x=1 e vamos precisar calcular \displaystyle L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|,
onde a_k=(x-1)^k/(k+2).

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos em valor absoluto:
\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| =\left|\frac{(x-1)^{k+1}/(k+3)}{(x-1)^{k}/(k+2)}\right| =|x-1|\;\frac{k+2}{k+3}.
Tomando o limite quando k\to\infty, temos
L=\lim_{k\to\infty}|x-1|\;\frac{k+2}{k+3} =|x-1|\;\lim_{k\to\infty}\frac{k+2}{k+3} =|x-1|.

Passo 3

Pelo teste da razão:
  • Se L<1, ou seja |x-1|<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, ou seja |x-1|>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste da razão é inconclusivo e precisamos examinar os extremos.

Passo 4

Para |x-1|>1, além do teste da razão dar divergência, observamos também que
\left|\frac{(x-1)^k}{k+2}\right| =\frac{|x-1|^k}{k+2} \quad\longrightarrow\quad\infty \quad(\text{exponencial domina polinomial}),
logo os termos não tendem a zero, confirmando a divergência pelo teste do termo geral.

Passo 5

Analisemos os pontos |x-1|=1:
  • Para x-1=1, isto é x=2, a série fica
    \sum_{k=1}^{\infty}1/(k+2), que é equivalente a uma série harmônica deslocada e diverge.
  • Para x-1=-1, isto é x=0, a série fica
    \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k+2},
    cujos termos têm módulo decrescente e vão a zero, logo converge condicionalmente (teste de Leibniz).

Resposta

A série converge absolutamente se |x-1|<1.
Diverge para |x-1|>1 (os termos não tendem a zero) e em x=2.
Em x=0 ela converge condicionalmente.

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