Use o teste da razão para mostrar que cada SÉRIE CONVERGE OU DIVERGE E NÃO TEM LIMITE ZERO. \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{k}}{k+2}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(x-1)^{k}}{k+2}
usando o teste da razão. Trata-se de uma série de potências em torno de x=1 e vamos precisar calcular \displaystyle L=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|,
onde a_k=(x-1)^k/(k+2).
Passo 2
Calculemos a razão entre termos consecutivos em valor absoluto:
logo os termos não tendem a zero, confirmando a divergência pelo teste do termo geral.
Passo 5
Analisemos os pontos |x-1|=1:
Para x-1=1, isto é x=2, a série fica \sum_{k=1}^{\infty}1/(k+2), que é equivalente a uma série harmônica deslocada e diverge.
Para x-1=-1, isto é x=0, a série fica \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k+2},
cujos termos têm módulo decrescente e vão a zero, logo converge condicionalmente (teste de Leibniz).
Resposta
A série converge absolutamente se |x-1|<1.
Diverge para |x-1|>1 (os termos não tendem a zero) e em x=2.
Em x=0 ela converge condicionalmente.