Use o teste da razão para determinar a Convergência ou divergência da série dada:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{3^{k+1}}{3^{k}(k+2)} \quad

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{k=1}^\infty \frac{3^{k+1}}{3^k\,(k+2)}
usando o teste da razão.

Passo 2

Definimos
a_k = \frac{3^{k+1}}{3^k\,(k+2)} = \frac{3}{k+2}.
No teste da razão, calculamos \lim_{k\to\infty}\bigl|\tfrac{a_{k+1}}{a_k}\bigr|.

Passo 3

Temos
\frac{a_{k+1}}{a_k} = \frac{\frac{3}{(k+1)+2}}{\frac{3}{k+2}} = \frac{k+2}{k+3},
então
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k} = 1.

Passo 4

Como esse limite é igual a 1, o teste da razão é inconclusivo.

Passo 5

Para decidir, note que
a_k = \frac{3}{k+2}\sim \frac{3}{k} \quad(k\to\infty),
e a série \sum 1/k (série harmônica) é divergente. Pelo teste de comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados