Use o teste da razão para mostrar que cada SÉRIE CONVERGE OU DIVERGE E NÃO TEM LIMITE ZERO.
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k} \cdot 2^{k} \cdot x^{k}}{(k+1)^{3}}

Passo 1

Temos a série
\sum_{k=1}^{\infty}a_k,\quad a_k = (-1)^k\;\frac{2^k\,x^k}{(k+1)^3}.
Queremos aplicar o teste da razão, ou seja, calcular
L = \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|
e usar que, se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a razão dos módulos:
\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = \frac{2^{k+1}\,|x|^{k+1}/(k+2)^3}{2^k\,|x|^k/(k+1)^3} =2\,|x|\;\frac{(k+1)^3}{(k+2)^3}.
Como
\frac{(k+1)^3}{(k+2)^3}\;\xrightarrow[k\to\infty]{}\;1,
segue que
L = \lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| = 2\,|x|.

Passo 3

Pelas regras do teste da razão:
  • Se 2|x|<1 (isto é, |x|<\tfrac12), então L<1 e a série converge absolutamente. Nesse caso \lim_{k\to\infty}a_k=0 fica garantido.
  • Se 2|x|>1 (isto é, |x|>\tfrac12), então L>1 e a série diverge. Além disso, para |x|>\tfrac12 temos \bigl|a_k\bigr| = \frac{|2x|^k}{(k+1)^3} crescendo exponencialmente, logo \lim_{k\to\infty}a_k não existe (nem é zero).

Passo 4

O teste da razão não decide o caso |x|=\tfrac12 L=1. Nessa fronteira:
  • Se x=\tfrac12, então a_k=(-1)^k/(k+1)^3, que tende a zero e forma uma série alternante de termos decrescentes, logo converge (teste de Leibniz).
  • Se x=-\tfrac12, então a_k=1/(k+1)^3, que é uma p-série com p=3>1, logo também converge.

Resposta

Converge absolutamente para |x|<\tfrac12. Diverge (e \lim a_k\neq0) para |x|>\tfrac12. Na fronteira |x|=\tfrac12 o teste da razão é inconclusivo, mas verificamos que a série converge e tem \lim_{k\to\infty}a_k=0.

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