Passo 1
O enunciado fornece a função
definida no intervalo
. Vou tomar como pedido (porque é o tipo de questão mais comum para esse enunciado) determinar os extremos absolutos de
no intervalo dado, isto é:
- Encontrar o(s) ponto(s) onde
atinge o valor máximo absoluto no intervalo. - Encontrar o(s) ponto(s) onde
atinge o valor mínimo absoluto no intervalo.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão da função é
. - O domínio considerado é o intervalo fechado
.
Passo 2
Por que essa pergunta faz sentido e qual é a estratégia padrão?
Teorema importante (enunciado em palavras simples): se uma função é contínua num intervalo fechado , então ela atinge um máximo e um mínimo absolutos nesse intervalo. A função
é um polinômio, logo é contínua em todo
, portanto continua em
e tem máximo e mínimo absolutos nesse intervalo.
Teorema importante (enunciado em palavras simples): se uma função é contínua num intervalo fechado
Estratégia prática (procedimento que usaremos — este é o método clássico que cai na prova):
- Calcular a derivada
. - Encontrar os pontos críticos dentro do intervalo (onde
ou não existe). - Avaliar
nos pontos críticos e também nas extremidades do intervalo e . - Comparar os valores obtidos; o maior será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.
Passo 3
Calcular a derivada e achar os pontos críticos.
A derivada de
é
Pontos críticos são soluções de
(ou onde a derivada não existe). Aqui
existe para todo
, e resolvendo
Portanto há um único ponto crítico dentro de
, que é
. Verificamos que
está no intervalo porque
.
Passo 4
Classificação rápida do ponto crítico (intuição sobre ser máximo ou mínimo).
Podemos usar a segunda derivada para classificar
. A segunda derivada é
Note que
. Quando a segunda derivada em um ponto crítico é negativa isso indica que a função é côncava para baixo ali, ou seja, o ponto crítico é um máximo local. Isso sugere que
é candidato a máximo absoluto (mas ainda precisamos comparar com os valores nas extremidades para concluir absoluto).
Passo 5
Avaliar
no ponto crítico e nas extremidades.
Calcular
em
,
e
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Comparar os valores obtidos para decidir máximos e mínimos.
Os valores são
,
e
. Comparando:
- O maior desses valores é
em . - O menor desses valores é
em .
Portanto
fornece o máximo absoluto e
fornece o mínimo absoluto no intervalo
.
Resposta
Máximo absoluto:
em
Mínimo absoluto: em
Mínimo absoluto: