1. f(x)=4-x^{2}, \quad-3 \leq x \leq 1

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x)=4-x^{2} definida no intervalo -3 \leq x \leq 1. Vou tomar como pedido (porque é o tipo de questão mais comum para esse enunciado) determinar os extremos absolutos de f no intervalo dado, isto é:
  • Encontrar o(s) ponto(s) onde f atinge o valor máximo absoluto no intervalo.
  • Encontrar o(s) ponto(s) onde f atinge o valor mínimo absoluto no intervalo.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão da função é f(x)=4-x^{2}.
  • O domínio considerado é o intervalo fechado [-3,1].

Passo 2

Por que essa pergunta faz sentido e qual é a estratégia padrão?
Teorema importante (enunciado em palavras simples): se uma função é contínua num intervalo fechado [a,b], então ela atinge um máximo e um mínimo absolutos nesse intervalo. A função f(x)=4-x^{2} é um polinômio, logo é contínua em todo \mathbb{R}, portanto continua em [-3,1] e tem máximo e mínimo absolutos nesse intervalo.
Estratégia prática (procedimento que usaremos — este é o método clássico que cai na prova):
  1. Calcular a derivada f'(x).
  2. Encontrar os pontos críticos dentro do intervalo (onde f'(x)=0 ou f' não existe).
  3. Avaliar f nos pontos críticos e também nas extremidades do intervalo x=-3 e x=1.
  4. Comparar os valores obtidos; o maior será o máximo absoluto e o menor será o mínimo absoluto.

Passo 3

Calcular a derivada e achar os pontos críticos.
A derivada de f é
f'(x)=\frac{d}{dx}(4-x^{2})=-2x.
Pontos críticos são soluções de f'(x)=0 (ou onde a derivada não existe). Aqui f'(x)=-2x existe para todo x, e resolvendo
-2x=0\quad\Rightarrow\quad x=0.
Portanto há um único ponto crítico dentro de [-3,1], que é x=0. Verificamos que 0 está no intervalo porque -3 \leq 0 \leq 1.

Passo 4

Classificação rápida do ponto crítico (intuição sobre ser máximo ou mínimo).
Podemos usar a segunda derivada para classificar x=0. A segunda derivada é
f''(x)=\frac{d}{dx}(-2x)=-2.
Note que f''(0)=-2<0. Quando a segunda derivada em um ponto crítico é negativa isso indica que a função é côncava para baixo ali, ou seja, o ponto crítico é um máximo local. Isso sugere que x=0 é candidato a máximo absoluto (mas ainda precisamos comparar com os valores nas extremidades para concluir absoluto).

Passo 5

Avaliar f no ponto crítico e nas extremidades.
Calcular f em x=-3, x=0 e x=1.
Para x=-3:
f(-3)=4-(-3)^{2}=4-9=-5.
Para x=0:
f(0)=4-0^{2}=4.
Para x=1:
f(1)=4-1^{2}=4-1=3.

Passo 6

Comparar os valores obtidos para decidir máximos e mínimos.
Os valores são f(-3)=-5, f(0)=4 e f(1)=3. Comparando:
  • O maior desses valores é 4 em x=0.
  • O menor desses valores é -5 em x=-3.
Portanto x=0 fornece o máximo absoluto e x=-3 fornece o mínimo absoluto no intervalo [-3,1].

Resposta

Máximo absoluto: f(0)=4 em x=0
Mínimo absoluto: f(-3)=-5 em x=-3

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