Determine se a sequência an dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
an=2-2 n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência an definida por
an = 2 - 2n,
e pede para determinar sua monotonicidade, se é limitada e se é convergente. Vamos usar definição de monotonicidade via diferença de termos, noções de sequência limitada e cálculo de limite quando ntoinfty.

Passo 2

Para verificar a monotonicidade, calculamos
an+1 - an = l(2 - 2(n+1)r) - l(2 - 2nr) = -2
Como an+1-an = -2<0 para todo n, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 3

Uma sequência é limitada se existir constates M1,M2 tais que M1<= an<= M2 para todo n. Aqui
a1 = 2 - 2cdot1 = 0,
logo an<=0 para todo n, ou seja, existe limite superior finito. Contudo,
limntoinftyan = limntoinfty(2-2n) = -infty,
logo não há limite inferior finito. Portanto, an não é limitada.

Passo 4

Como vimos,
limntoinftyan = -infty,
o que não é um número real finito. Logo, a sequência é divergente.

Resposta

A sequência an é estritamente decrescente, não é limitada e é divergente (tende a -infty).

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