Determine se a sequência
dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
sequência é convergente?
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
definida por
e pede para determinar sua monotonicidade, se é limitada e se é convergente. Vamos usar definição de monotonicidade via diferença de termos, noções de sequência limitada e cálculo de limite quando
.
Passo 2
Para verificar a monotonicidade, calculamos
Como
para todo
, a sequência é estritamente decrescente.
Passo 3
Uma sequência é limitada se existir constates
tais que
para todo
. Aqui
logo
para todo
, ou seja, existe limite superior finito. Contudo,
logo não há limite inferior finito. Portanto,
não é limitada.
Passo 4
Como vimos,
o que não é um número real finito. Logo, a sequência é divergente.
Resposta
A sequência
é estritamente decrescente, não é limitada e é divergente (tende a
).