Determine se a sequência an dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
an=n^2+n+22

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para a gente analisar a sequência an = n^2 + n + 22 . Precisamos descobrir se ela é crescente, decrescente ou não monótona, se é limitada e se converge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências monotônicas, limites e conceitos de crescimento de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a sequência é crescente ou decrescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, ou seja, se an+1 > an . Vamos calcular an+1 :
an+1 = (n+1)^2 + (n+1) + 22 = n^2 + 2n + 1 + n + 1 + 22 = n^2 + 3n + 42
Agora, comparando com an = n^2 + n + 22 , vemos que:
an+1 - an = n^2 + 3n + 42 - n^2 + n + 22 = 2n + 22 = n + 1
Como n + 1 é sempre positivo para n >= 1 , isso significa que an+1 > an para todo n , então a sequência é crescente.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que serve tanto de limite superior quanto inferior para todos os termos da sequência. Como já vimos que a sequência é crescente, vamos analisar o seu comportamento quando n cresce sem limites.
O termo principal de an é n^22 , que cresce sem parar à medida que n aumenta. Isso significa que a sequência não tem um limite superior finito, ou seja, ela não é limitada.

Passo 4

Por último, vamos determinar se a sequência é convergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um certo valor quando n tende ao infinito. Já vimos que an cresce sem limites, então não há um valor específico para o qual a sequência se aproxima.
Portanto, a sequência não é convergente.

Resposta

A sequência an = n^2 + n + 22 é crescente, não é limitada e não é convergente.

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