Determine se a sequência
dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
sequência é convergente?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para a gente analisar a sequência
. Precisamos descobrir se ela é crescente, decrescente ou não monótona, se é limitada e se converge. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre sequências monotônicas, limites e conceitos de crescimento de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a sequência é crescente ou decrescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior que o anterior, ou seja, se
. Vamos calcular
:
Agora, comparando com
, vemos que:
Como
é sempre positivo para
, isso significa que
para todo
, então a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que serve tanto de limite superior quanto inferior para todos os termos da sequência. Como já vimos que a sequência é crescente, vamos analisar o seu comportamento quando
cresce sem limites.
O termo principal de
é
, que cresce sem parar à medida que
aumenta. Isso significa que a sequência não tem um limite superior finito, ou seja, ela não é limitada.
Passo 4
Por último, vamos determinar se a sequência é convergente. Uma sequência é convergente se ela se aproxima de um certo valor quando
tende ao infinito. Já vimos que
cresce sem limites, então não há um valor específico para o qual a sequência se aproxima.
Portanto, a sequência não é convergente.
Resposta
A sequência
é crescente, não é limitada e não é convergente.