Determine se a sequência
dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
sequência é convergente?
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para verificarmos
– se ela é crescente, decrescente ou não monótona;
– se é limitada;
– se é convergente.
Para isso vamos comparar termos consecutivos (monotonicidade), determinar limites inferior e superior (boundedness) e calcular .
– se ela é crescente, decrescente ou não monótona;
– se é limitada;
– se é convergente.
Para isso vamos comparar termos consecutivos (monotonicidade), determinar limites inferior e superior (boundedness) e calcular
Passo 2
Para a monotonicidade comparamos
e
:
Como
para todo
, concluímos que a sequência é estritamente decrescente.
Passo 3
Para verificar se é limitada, observamos que para todo
Logo 0 é um limite inferior e
é um limite superior, ou seja, a sequência é limitada.
Passo 4
Para ver a convergência, basta calcular
Alternativamente, como já mostramos que a sequência é decrescente e limitada inferiormente por 0, pelo Teorema do Confronto (ou monotone convergence theorem) ela converge ao seu ínfimo, que é 0.
Resposta
A sequência
é estritamente decrescente, é limitada (por 0 e
) e converge para 0.