Determine se a sequência an dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
an=12^n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = 12^n
e pede para verificarmos
– se ela é crescente, decrescente ou não monótona;
– se é limitada;
– se é convergente.
Para isso vamos comparar termos consecutivos (monotonicidade), determinar limites inferior e superior (boundedness) e calcular limntoinftyan.

Passo 2

Para a monotonicidade comparamos an+1 e an:
an+1 = 12^,n+1 = 12,12^n = an2
Como tfracan2<an para todo n, concluímos que a sequência é estritamente decrescente.

Passo 3

Para verificar se é limitada, observamos que para todo n
an = 12^n>0 e an<= a1=12
Logo 0 é um limite inferior e tfrac12 é um limite superior, ou seja, a sequência é limitada.

Passo 4

Para ver a convergência, basta calcular
limntoinftyan = limntoinfty12^n = 0
Alternativamente, como já mostramos que a sequência é decrescente e limitada inferiormente por 0, pelo Teorema do Confronto (ou monotone convergence theorem) ela converge ao seu ínfimo, que é 0.

Resposta

A sequência an é estritamente decrescente, é limitada (por 0 e tfrac12) e converge para 0.

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