Determine se a sequência an dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
an=n^3+3 n^2+8 n6

Passo 1

O enunciado define a sequência
an=n^3+3n^2+8n6
e pede que verifiquemos se ela é crescente, decrescente ou não monótona; se é limitada; e se converge. Para isso vamos:
  1. estudar a monotonicidade analisando a diferença an+1-an;
  2. ver o comportamento de an para ntoinfty para checar limite e limitações.

Passo 2

Calculamos a diferença entre termos consecutivos:
an+1 =(n+1)^3+3(n+1)^2+8(n+1)6 =n^3+6n^2+17n+126,
an =n^3+3n^2+8n6,
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an+1-an =(n^3+6n^2+17n+12)-(n^3+3n^2+8n)6 =3n^2+9n+126 =n^2+3n+42
Como tfracn^2+3n+42>0 para todo n>=1, temos an+1>an. Portanto a sequência é estritamente crescente.

Passo 3

Para verificar se é limitada, observamos que
limntoinftyan =limntoinftyn^3+3n^2+8n6 =+infty,
ou seja, não existe maiorante finito. Em contrapartida, a1=2 e todos os an>=2, então há limitante inferior, mas não superior. Logo a sequência não é limitada (no sentido usual de ter cotas superior e inferior finitas).

Passo 4

Como anto+infty, não converge a um número real finito. Concluímos que a sequência é divergente para +infty.

Resposta

A sequência é estritamente crescente, não é limitada (não tem maiorante finito) e não é convergente (diverge para +infty).

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