Determine se a sequência
dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
sequência é convergente?
Passo 1
O enunciado define a sequência
e pede que verifiquemos se ela é crescente, decrescente ou não monótona; se é limitada; e se converge. Para isso vamos:
- estudar a monotonicidade analisando a diferença
; - ver o comportamento de
para para checar limite e limitações.
Passo 2
Calculamos a diferença entre termos consecutivos:
logo
Como
para todo
, temos
. Portanto a sequência é estritamente crescente.
Passo 3
Para verificar se é limitada, observamos que
ou seja, não existe maiorante finito. Em contrapartida,
e todos os
, então há limitante inferior, mas não superior. Logo a sequência não é limitada (no sentido usual de ter cotas superior e inferior finitas).
Passo 4
Como
, não converge a um número real finito. Concluímos que a sequência é divergente para
.
Resposta
A sequência é estritamente crescente, não é limitada (não tem maiorante finito) e não é convergente (diverge para
).