Determine se a sequência an dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
an=(-1)^n

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência an definida por
an = (-1)^n
e pede para determinarmos se ela é crescente, decrescente ou não monótona, se é limitada e se é convergente. Vamos usar:
  1. Definição de sequência crescente/decrescente (monotonicidade).
  2. Definição de sequência limitada.
  3. Critério de convergência de sequência (existência de limite).

Passo 2

Para testar monotonicidade, comparamos termos consecutivos. Note que
a1 = (-1)^1 = -1, a2 = (-1)^2 = 1, a3 = (-1)^3 = -1, dots
Observamos que
a1 < a2 (pois (-1<1)),
mas
a2 > a3 (pois (1>-1))
Como não há uma única desigualdade consistente ( >= para crescente ou <= para decrescente) válida para todos n, a sequência não é monótona.

Passo 3

Para verificar se an é limitada, basta encontrar uma constante M tal que lvert anrvert<= M para todo n. Aqui
an in-1,1
então lvert anrvert = 1 para todo n. Logo, podemos tomar M=1 e concluir que a sequência é limitada.

Passo 4

Para a convergência, precisamos analisar
limntoinfty an
Mas as subsequências dos termos em índices pares tendem a 1 e a de índices ímpares tendem a -1. Como esses dois limites são diferentes, o limite limntoinftyan não existe, logo a sequência não é convergente.

Resposta

A sequência não é monótona.
A sequência é limitada.
A sequência não é convergente.

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