Determine se a sequência
dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
sequência é convergente?
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
definida por
e pede para determinarmos se ela é crescente, decrescente ou não monótona, se é limitada e se é convergente. Vamos usar:
- Definição de sequência crescente/decrescente (monotonicidade).
- Definição de sequência limitada.
- Critério de convergência de sequência (existência de limite).
Passo 2
Para testar monotonicidade, comparamos termos consecutivos. Note que
Observamos que
mas
Como não há uma única desigualdade consistente (
para crescente ou
para decrescente) válida para todos
, a sequência não é monótona.
Passo 3
Para verificar se
é limitada, basta encontrar uma constante
tal que
para todo
. Aqui
então
para todo
. Logo, podemos tomar
e concluir que a sequência é limitada.
Passo 4
Para a convergência, precisamos analisar
Mas as subsequências dos termos em índices pares tendem a
e a de índices ímpares tendem a
. Como esses dois limites são diferentes, o limite
não existe, logo a sequência não é convergente.
Resposta
A sequência não é monótona.
A sequência é limitada.
A sequência não é convergente.
A sequência é limitada.
A sequência não é convergente.