Determine se a sequência an dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
an=n

Passo 1

O enunciado dá a sequência an definida por
an = n,
e pede para decidir se ela é crescente, decrescente ou não monótona; se é limitada; e se é convergente. Para isso vamos usar as definições de sequência monótona, sequência limitada e convergência de sequência.

Passo 2

Para verificar a monotonicidade, comparamos an+1 e an.
an+1 - an = (n+1) - n = 1 > 0
Como a diferença é sempre positiva, temos
an+1 > anforall,ninN,
logo a sequência é estritamente crescente.

Passo 3

Uma sequência é limitada se existe M>0 tal que lvert anrvert<= M para todo n. Aqui, embora tenha
an = n >= 1forall,n,
não existe constante M que limite n acima (pois para todo M existe n>M). Logo a sequência não é limitada (é apenas limitada inferiormente por 1, mas não limitada superiormente).

Passo 4

Uma sequência converge se seu limite quando ntoinfty existe e é finito. Aqui
limntoinftyan = limntoinftyn = +infty,
ou seja, o limite não é um número real finito. Portanto a sequência diverge (não é convergente).

Resposta

A sequência é estritamente crescente, não é limitada e não é convergente (diverge para +infty).

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