Determine se a sequência
dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
sequência é convergente?
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
e pede para decidir se ela é crescente, decrescente ou não monótona; se é limitada; e se é convergente. Para isso vamos usar as definições de sequência monótona, sequência limitada e convergência de sequência.
Passo 2
Para verificar a monotonicidade, comparamos
e
.
Como a diferença é sempre positiva, temos
logo a sequência é estritamente crescente.
Passo 3
Uma sequência é limitada se existe
tal que
para todo
. Aqui, embora tenha
não existe constante
que limite
acima (pois para todo
existe
). Logo a sequência não é limitada (é apenas limitada inferiormente por 1, mas não limitada superiormente).
Passo 4
Uma sequência converge se seu limite quando
existe e é finito. Aqui
ou seja, o limite não é um número real finito. Portanto a sequência diverge (não é convergente).
Resposta
A sequência é estritamente crescente, não é limitada e não é convergente (diverge para
).