Determine se a sequência an dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada? A sequência é convergente?
an=1n^r, r>0

Passo 1

O enunciado dá a sequência an com
an = 1n^r, r>0,
e pede para analisar
  1. se é crescente, decrescente ou não monótona;
  2. se é limitada;
  3. se é convergente.
    Vamos usar comparação de termos para monotonicidade, propriedades de reciprocais para limite e comportamento de potências em n.

Passo 2

Para verificar se é monotona, consideramos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = tfrac1(n+1)^rtfrac1n^r = l(n,n+1r)^!r
Como n/(n+1)<1 e r>0, temos l(n/(n+1)r)^r<1. Logo
an+1 < an
para todo n, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 3

Para limitação, note que para todo n>=1 vale
an = 1n^r>0
e
an <= a1 = 1
Logo a sequência está limitada inferiormente por 0 e superiormente por 1.

Passo 4

Quanto à convergência, sabemos que para r>0
,n^rtoinfty quando ntoinfty. Portanto
an = 1n^rlongrightarrow 0
Isso mostra que a sequência é convergente e seu limite é 0.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente, está limitada (por 0 e 1) e converge para 0.

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