Determine se a sequência
dada é crescente, decrescente ou não monótona. A sequência é limitada?
sequência é convergente?
Passo 1
O enunciado dá a sequência
com
e pede para analisar
- se é crescente, decrescente ou não monótona;
- se é limitada;
- se é convergente.
Vamos usar comparação de termos para monotonicidade, propriedades de reciprocais para limite e comportamento de potências em.
Passo 2
Para verificar se é monotona, consideramos a razão entre termos consecutivos:
Como
e
, temos
. Logo
para todo
, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.
Passo 3
Para limitação, note que para todo
vale
e
Logo a sequência está limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Passo 4
Quanto à convergência, sabemos que para
quando
. Portanto
Isso mostra que a sequência é convergente e seu limite é
.
Resposta
A sequência é estritamente decrescente, está limitada (por
e
) e converge para
.