Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona: (Valor: 1,5 pontos)
2^n1+2^n

Passo 1

Vamos analisar se a sequência 2^n1+2^n é crescente, decrescente ou não monótona. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências numéricas e verificar como os termos da sequência se comportam conforme n aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão da sequência: an = 2^n1 + 2^n. Aqui, 2^n representa uma potência de 2 que cresce conforme n aumenta.

Passo 3

Para determinar se a sequência é crescente ou decrescente, vamos comparar termos consecutivos, ou seja, an+1 e an.

Passo 4

Calculando an+1:
an+1 = 2^n+11 + 2^n+1 = 2 cdot 2^n1 + 2 cdot 2^n = 2^n+11 + 2^n+1

Passo 5

Agora, vamos comparar an+1 com an:
an+1 = 2^n+11 + 2^n+1 = 2 cdot 2^n1 + 2 cdot 2^n = 2 cdot 2^n1 + 2 cdot 2^n = 2^n12 + 2^n
Observamos que à medida que n aumenta, o denominador cresce mais rapidamente, mas o numerador também está aumentando devido ao 2^n.

Passo 6

Para facilitar a comparação, vamos calcular a razão entre an+1 e an:
an+1an = 2^n+11 + 2^n+12^n1 + 2^n = 2^n+1 cdot (1 + 2^n)2^n cdot (1 + 2^n+1) = 2 cdot (1 + 2^n)1 + 2 cdot 2^n = 2 + 2^n+11 + 2^n+1
= 2 + 2^n+11 + 2^n+1 = 1 + 11 + 2^n+1
Como 2^n+1 é sempre positivo, 11 + 2^n+1 > 0, então an+1an > 1. Isso indica que an+1 > an, ou seja, a sequência está crescendo.

Resposta

A sequência 2^n1+2^n é crescente.

Exercícios relacionados