Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona: (Valor: 1,5 pontos)
n^2+(-1)^n n

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por an = n^2 + (-1)^nn . O objetivo é determinar se essa sequência é crescente, decrescente ou não monótona. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de sequência monótona, que pode ser crescente, decrescente ou não monótona. Uma sequência é crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior, e não monótona se não segue nem uma tendência crescente nem decrescente de forma consistente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão geral da sequência: an = n^2 + (-1)^nn . Aqui, n^2 é um termo quadrático que sempre aumenta à medida que n aumenta. Já (-1)^nn alterna sinais dependendo se n é par ou ímpar:
  • Se n é par, (-1)^n = 1 , então (-1)^nn = n .
  • Se n é ímpar, (-1)^n = -1 , então (-1)^nn = -n .
Isso significa que a sequência tem um comportamento alternado devido ao termo (-1)^nn .

Passo 3

Vamos calcular alguns termos da sequência para observar o comportamento:
  • Para n = 1 : a1 = 1^2 + (-1)^1 cdot 1 = 1 - 1 = 0
  • Para n = 2 : a2 = 2^2 + (-1)^2 cdot 2 = 4 + 2 = 6
  • Para n = 3 : a3 = 3^2 + (-1)^3 cdot 3 = 9 - 3 = 6
  • Para n = 4 : a4 = 4^2 + (-1)^4 cdot 4 = 16 + 4 = 20
  • Para n = 5 : a5 = 5^2 + (-1)^5 cdot 5 = 25 - 5 = 20
  • Para n = 6 : a6 = 6^2 + (-1)^6 cdot 6 = 36 + 6 = 42

Passo 4

Agora, vamos observar como os termos se comportam:
  • De a1 para a2 : de 0 para 6 — está aumentando.
  • De a2 para a3 : de 6 para 6 — permanece o mesmo.
  • De a3 para a4 : de 6 para 20 — está aumentando.
  • De a4 para a5 : de 20 para 20 — permanece o mesmo.
  • De a5 para a6 : de 20 para 42 — está aumentando.
Percebemos que a sequência nunca diminui, apenas aumenta ou permanece constante.

Resposta

A sequência n^2 + (-1)^nn é crescente.

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