Encontre o limite. Use a Regra de LHôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de LHôspital não for aplicável, explique por quê.
lim x 0^+ x^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: limx 0^+ x^x. Aqui, estamos trabalhando com funções exponenciais e limites. Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital quando for necessário, além de entender um pouco sobre logaritmos e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever x^x de uma forma que seja mais fácil de trabalhar com limites. Sabemos que qualquer expressão da forma a^b pode ser reescrita usando a função exponencial e logaritmos:
x^x = e^x cdot ln(x)
Isso nos ajuda a transformar o limite original em:
limx 0^+ e^x cdot ln(x)

Passo 3

Agora, para resolver esse limite, precisamos encontrar o valor de x cdot ln(x) quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo. Então, vamos focar em:
limx 0^+ x cdot ln(x)
Nesse ponto, podemos ver que x está indo para 0 e ln(x) está indo para -infty. Isso cria uma forma indeterminada 0 cdot (-infty), que não podemos resolver diretamente. Então, vamos reescrever essa expressão para aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Para aplicar a Regra de L’Hôpital, precisamos transformar o produto em uma fração. Podemos fazer isso dividindo ln(x) por 1/x:
limx 0^+ ln(x)1/x
Agora, temos uma forma -inftyinfty, que é uma condição válida para usar a Regra de L’Hôpital.

Passo 5

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada de ln(x) em relação a x é 1x.
  • Derivada de 1/x em relação a x é -1x^2.
Então, o limite se torna:
limx 0^+ 1x-1x^2 = limx 0^+ (-x)

Passo 6

Agora, é fácil ver que conforme x se aproxima de 0, -x também se aproxima de 0:
limx 0^+ (-x) = 0
Então, voltando ao nosso limite original de x cdot ln(x):
limx 0^+ x cdot ln(x) = 0

Passo 7

Finalmente, substituímos esse resultado de volta na expressão exponencial que havíamos criado no Passo 2:
limx 0^+ e^x cdot ln(x) = e^0 = 1

Resposta

O limite limx 0^+ x^x é igual a 1.

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