Encontre o limite. Use a Regra de LHôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de LHôspital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui, estamos trabalhando com funções exponenciais e limites. Para resolver, vamos precisar usar a Regra de L’Hôpital quando for necessário, além de entender um pouco sobre logaritmos e propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
de uma forma que seja mais fácil de trabalhar com limites. Sabemos que qualquer expressão da forma
pode ser reescrita usando a função exponencial e logaritmos:
Isso nos ajuda a transformar o limite original em:
Passo 3
Agora, para resolver esse limite, precisamos encontrar o valor de
quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo. Então, vamos focar em:
Nesse ponto, podemos ver que
está indo para 0 e
está indo para
. Isso cria uma forma indeterminada
, que não podemos resolver diretamente. Então, vamos reescrever essa expressão para aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Para aplicar a Regra de L’Hôpital, precisamos transformar o produto em uma fração. Podemos fazer isso dividindo
por
:
Agora, temos uma forma
, que é uma condição válida para usar a Regra de L’Hôpital.
Passo 5
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, o limite se torna:
Passo 6
Agora, é fácil ver que conforme
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0:
Então, voltando ao nosso limite original de
:
Passo 7
Finalmente, substituímos esse resultado de volta na expressão exponencial que havíamos criado no Passo 2:
Resposta
O limite
é igual a 1.