- Verifique se a sequência
possui limite. Caso tenha, prove que o limite encontrado é válido. (Valor: 1,5 pontos)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por
e precisamos verificar se essa sequência possui um limite quando
tende ao infinito. Se existir, devemos provar que o limite encontrado realmente é válido. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências no estudo de cálculo.
Passo 2
Para encontrar o limite da sequência
quando
tende ao infinito, vamos analisar os termos do numerador e do denominador separadamente. Observamos que tanto no numerador quanto no denominador, o termo que envolve
é dominante à medida que
cresce.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão dividindo cada termo pelo maior grau de
presente no denominador, que é
:
Isso simplifica a análise do comportamento quando
tende ao infinito.
Passo 4
Agora, analisamos o limite de cada termo individualmente:
-
tende a 0 quando vai para infinito. -
também tende a 0 quando vai para infinito.
Então, a expressão simplificada fica:
Resposta
Portanto, o limite da sequência
quando
tende ao infinito é
.