Encontre o raio e o intervalo de convergência da série.
(a) ;
Passo 1
Vamos resolver o exercício de encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Para isso, vamos trabalhar com séries de potências e utilizar o teste da razão para determinar o raio e o intervalo de convergência.
Passo 2
Primeiro, identificamos a forma geral da série de potências, que é . No nosso caso, e .
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência , usamos o teste da razão, que diz que:
Vamos calcular esse limite:
Passo 4
Calculando o limite quando limn to infty nn+1 cdot 13 = 1 cdot 13 = 13 tende ao infinito:
Portanto, o raio de convergência é .
Passo 5
Com o raio |x + 2| < 13 , determinamos o intervalo de convergência. A série converge quando:
- 13 < x + 2 < 13
Resolvendo a desigualdade:
- 13 - 2 < x < 13 - 2
Subtraindo 2 de todos os lados:
- 73 < x < - 53
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .