Encontre o raio R e o intervalo I de convergência da série.
(a) sumn=1^+infty n 3^n(x+2)^n;

Passo 1

Vamos resolver o exercício de encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Para isso, vamos trabalhar com séries de potências e utilizar o teste da razão para determinar o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Primeiro, identificamos a forma geral da série de potências, que é . No nosso caso, e .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência R = limn to infty | anan+1 | , usamos o teste da razão, que diz que:
anan+1 = n cdot 3^n(n+1) cdot 3^n+1 = n(n+1) cdot 3 = nn+1 cdot 13
Vamos calcular esse limite:

Passo 4

Calculando o limite quando limn to infty nn+1 cdot 13 = 1 cdot 13 = 13 tende ao infinito:
Portanto, o raio de convergência é .

Passo 5

Com o raio |x + 2| < 13 , determinamos o intervalo de convergência. A série converge quando:
- 13 < x + 2 < 13
Resolvendo a desigualdade:
- 13 - 2 < x < 13 - 2
Subtraindo 2 de todos os lados:
- 73 < x < - 53

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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