(a) Encontre a série de Maclaurin da função
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin da função
. A série de Maclaurin é basicamente uma expansão em série de potências de
centrada em
. Para isso, vamos precisar conhecer as séries de Maclaurin das funções
e
, já que
pode ser escrita como
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as séries de Maclaurin para
e
:
Passo 3
Agora, queremos dividir essas duas séries para encontrar
. Isso pode ser um pouco complicado, mas vamos proceder passo a passo.
Vamos escrever as duas séries até o termo
:
Passo 4
Para dividir as séries, usamos a técnica de divisão de polinômios. Queremos encontrar uma série
tal que:
Multiplicando as séries:
Passo 5
Agora, vamos igualar os coeficientes dos mesmos poderes de
dos dois lados da equação para encontrar os
.
Para o termo
:
Para o termo
:
Para o termo
:
Para o termo
:
Resposta
Então, juntando tudo, a série de Maclaurin da função
é: