(a) Encontre a série de Maclaurin da função f(x) = tan(x)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de Maclaurin da função . A série de Maclaurin é basicamente uma expansão em série de potências de centrada em . Para isso, vamos precisar conhecer as séries de Maclaurin das funções e , já que pode ser escrita como .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar as séries de Maclaurin para e :

Passo 3

Agora, queremos dividir essas duas séries para encontrar . Isso pode ser um pouco complicado, mas vamos proceder passo a passo.
Vamos escrever as duas séries até o termo :

Passo 4

Para dividir as séries, usamos a técnica de divisão de polinômios. Queremos encontrar uma série tal que:
Multiplicando as séries:

Passo 5

Agora, vamos igualar os coeficientes dos mesmos poderes de dos dois lados da equação para encontrar os .
Para o termo :
Para o termo :
Para o termo :
Para o termo :

Resposta

Então, juntando tudo, a série de Maclaurin da função é:

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