Determine se a sequência, dada pelo seu termo geral xn, converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
xn=sen nraizn

Passo 1

Tranquilo, vamos lá. O exercício pede pra determinar se a sequência xn = sen nraizn converge ou diverge e, se convergir, achar o limite. O conteúdo aqui é limites de sequência, e a gente vai precisar usar que o seno é limitado entre -1 e 1 e também o Teorema do Confronto (ou Sanduíche).

Passo 2

Pra começar, lembra que a função seno nunca passa de -1 e 1. Então colocamos a desigualdade em bloco:
[ -1 \le \operatorname{sen} n \le 1 ]
Isso mostra que o numerador da nossa sequência é limitado.

Passo 3

Como raizn é sempre positivo quando n é natural, podemos dividir todos os termos da desigualdade acima por raizn sem mudar os sinais. Ficamos com:
[ -\frac{1}{\sqrt{n}} \le \frac{\operatorname{sen} n}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{\sqrt{n}} ]
Esse passo é importante pra aplicar o Teorema do Confronto.

Passo 4

Agora a gente analisa o limite das sequências das extremidades quando n to infty. Como raizn vai pra infinito, temos limntoinfty 1raizn = 0 e limntoinfty -1raizn = 0. A teoria aqui é que se o denominador cresce sem parar, a fração vai pra zero.

Passo 5

Por fim, pelo Teorema do Confronto, já que sen nraizn fica preso entre duas sequências que convergem pra 0, nossa sequência também converge e o limite é 0.

Resposta

0

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