Determine se a sequência, dada pelo seu termo geral
, converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Tranquilo, vamos lá. O exercício pede pra determinar se a sequência
converge ou diverge e, se convergir, achar o limite. O conteúdo aqui é limites de sequência, e a gente vai precisar usar que o seno é limitado entre -1 e 1 e também o Teorema do Confronto (ou Sanduíche).
Passo 2
Pra começar, lembra que a função seno nunca passa de -1 e 1. Então colocamos a desigualdade em bloco:
[ -1 \le \operatorname{sen} n \le 1 ]
Isso mostra que o numerador da nossa sequência é limitado.
[ -1 \le \operatorname{sen} n \le 1 ]
Isso mostra que o numerador da nossa sequência é limitado.
Passo 3
Como
é sempre positivo quando
é natural, podemos dividir todos os termos da desigualdade acima por
sem mudar os sinais. Ficamos com:
[ -\frac{1}{\sqrt{n}} \le \frac{\operatorname{sen} n}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{\sqrt{n}} ]
Esse passo é importante pra aplicar o Teorema do Confronto.
[ -\frac{1}{\sqrt{n}} \le \frac{\operatorname{sen} n}{\sqrt{n}} \le \frac{1}{\sqrt{n}} ]
Esse passo é importante pra aplicar o Teorema do Confronto.
Passo 4
Agora a gente analisa o limite das sequências das extremidades quando
. Como
vai pra infinito, temos
e
. A teoria aqui é que se o denominador cresce sem parar, a fração vai pra zero.
Passo 5
Por fim, pelo Teorema do Confronto, já que
fica preso entre duas sequências que convergem pra 0, nossa sequência também converge e o limite é 0.
Resposta
0