Encontre parametrizações suaves por partes para as curvas a seguir
O triângulo no plano x y cujos vértices são (0,0),(2,0),(0,2).

Passo 1

Queremos parametrizar, de forma suave por partes, o contorno do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,2). O conteúdo aqui é a construção de parametrizações lineares segmento a segmento, lembrando que cada segmento é dado por uma reta entre dois pontos.

Passo 2

Identificamos os três lados do triângulo, na ordem em que vamos percorrê-los:
— Lado AB de A=(0,0) a B=(2,0).
— Lado BC de B=(2,0) a C=(0,2).
— Lado CA de C=(0,2) a A=(0,0).

Passo 3

Parametrização do lado AB. Uma reta de (0,0) a (2,0) pode ser escrita como
r1(t) = (2t,,0), 0 <= t <= 1
Quando t=0 estamos em A e quando t=1 chegamos em B.

Passo 4

Parametrização do lado BC. Sejam sin[0,1]. A reta de B=(2,0) a C=(0,2) pode ser dada por interpolação
r2(s) = l(2 - 2s,;0 + 2sr) = (2-2s,;2s), 0 <= s <= 1
Para s=0 estamos em B e para s=1 chegamos em C.

Passo 5

Parametrização do lado CA. Sejam uin[0,1]. A reta de C=(0,2) a A=(0,0) é
r3(u) = l(0,;2 - 2ur), 0 <= u <= 1
Aqui u=0 C e u=1 A.

Passo 6

Unimos as tr^es parametriza\c{c}~oes num \u{u}nico vetor
Cada ramo \u{e} uma reta (logo (C^\infty] internamente) e juntos percorrem todo o contorno do tri^angulo.]

Resposta

r(t) = (2t,,0), & 0 <= t <= 1,[6pt] (4-2t,,2t-2), & 1 <= t <= 2,[6pt] (0,,6-2t), & 2 <= t <= 3
Esta \u{e} uma parametriza\c{c}~ao suave por partes do contorno do tri^angulo com v’ertices (0,0), (2,0) e (0,2).]

Exercícios relacionados