Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Dizemos que uma série
é condicionalmente convergente, se ela for convergente, mas não for absolutamente convergente.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para decidir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo envolve séries alternadas e o teste da raiz para verificar convergência absoluta.
Passo 2
Para estudar convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos
Aplicamos o teste da raiz: definimos bn=1l(tg^-1(n)r)^n
e calculamos
L=limsupntoinfty raiz[n]bn =limntoinfty1tg^-1(n)
Como tg^-1(n)to pi2 quando ntoinfty, temos
L=1pi/2=2pi<1
Passo 3
O teste da raiz diz que se L<1 então a série sum bn converge. Logo a série de valores absolutos converge, ou seja, nossa série original é absolutamente convergente.