Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Dizemos que uma série
sum an
é condicionalmente convergente, se ela for convergente, mas não for absolutamente convergente.
sumn=1^infty (-1)^ntg^-1(n))^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty(-1)^nl(tg^-1(n)r)^n
e pede para decidir se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo envolve séries alternadas e o teste da raiz para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Para estudar convergência absoluta, consideramos a série de termos positivos
sumn=1^infty l|anr| =sumn=1^infty 1l(tg^-1(n)r)^n
Aplicamos o teste da raiz: definimos
bn=1l(tg^-1(n)r)^n
e calculamos
L=limsupntoinfty raiz[n]bn =limntoinfty1tg^-1(n)
Como tg^-1(n)to pi2 quando ntoinfty, temos
L=1pi/2=2pi<1

Passo 3

O teste da raiz diz que se L<1 então a série sum bn converge. Logo a série de valores absolutos converge, ou seja, nossa série original é absolutamente convergente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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