Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Dizemos que uma série
sum an
é condicionalmente convergente, se ela for convergente, mas não for absolutamente convergente.
sumn=2^infty (-1)^nn ln (n)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=2^infty(-1)^nnln(n)
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Conteúdo que vamos usar:
– Critério de Leibniz (séries alternadas) para ver convergência.
– Teste de integral para estudar a convergência da série dos valores absolutos.

Passo 2

Note que podemos escrever an = (-1)^n bn com
bn = 1nln(n)
  1. A série é alternada pois o fator (-1)^n muda de sinal a cada n.
  2. Para usar o critério de Leibniz, precisamos que bn seja decrescente e que limntoinftybn=0.
    – Limite nulo: limntoinftybn = limntoinfty1nln(n) = 0 – Monotonia: considere a função f(x) = 1xln(x), x>1 Sua derivada é f'(x) = -ln(x)+1x^2[ln(x)]^2, que é negativa para x>1. Logo bn=f(n) é decrescente a partir de n=2.

Passo 3

Pelo critério de Leibniz, como (bn) é positiva, decrescente e tende a zero, a série alternada
sumn=2^infty(-1)^n bn
converge.

Passo 4

Para ver se a convergência é absoluta, analisamos
sumn=2^inftyl|anr| = sumn=2^infty1nln(n)
Aplicamos o teste da integral:
integral2^inftydxxln(x) = l[ln!l(ln(x)r)r]2^infty = limXtoinftyln!l(ln(X)r)-ln!l(ln(2)r) = infty
Como a integral diverge, a série de termos positivos
sumn=2^infty1/(nln(n)) diverge, logo não há convergência absoluta.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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