(a) Determine se a sequência definida a seguir é convergente ou divergente:
(b) O que acontece se o primeiro termo para
?
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da sequência recursiva de primeira ordem dada por
e
, e depois verificar o que muda se começarmos com
. Vamos usar ideias de ponto fixo e solução de recorrência linear.
Passo 2
Para entender a possível convergência, procuramos um ponto fixo
que satisfaça
. Resolvendo essa equação temos
Esse seria o valor em torno do qual a sequência poderia se estabilizar.
Passo 3
Definimos a sequência auxiliar
. Substituindo na recorrência:
Logo,
e, por recorrência,
Assim,
Passo 4
Aplicando
, temos
e
Isso faz a sequência oscilar entre 1 e 3, sem aproximar‐se de um único valor. Portanto ela é divergente.
Passo 5
Se agora tomarmos
, então
e da fórmula
para todo
. A sequência fica constante em 2, ou seja, converge para 2.
Resposta
Para
, a sequência alterna entre 1 e 3 e é divergente. Para
, a sequência é constante igual a 2 e converge para 2.