(a) Determine se a sequência definida a seguir é convergente ou divergente:
a1=1 an+1=4-an para n >= 1
(b) O que acontece se o primeiro termo para a1=2 ?

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência recursiva de primeira ordem dada por a1=1 e an+1=4 - an, e depois verificar o que muda se começarmos com a1=2. Vamos usar ideias de ponto fixo e solução de recorrência linear.

Passo 2

Para entender a possível convergência, procuramos um ponto fixo L que satisfaça L = 4 - L. Resolvendo essa equação temos
2L = 4 implies L = 2
Esse seria o valor em torno do qual a sequência poderia se estabilizar.

Passo 3

Definimos a sequência auxiliar bn = an - L = an - 2. Substituindo na recorrência:
bn+1 = an+1 - 2 = (4 - an) - 2 = 2 - an = -(an - 2) = -bn
Logo, bn+1 = -bn e, por recorrência, bn = b1 (-1)^n-1 Assim,
an = 2 + (a1 - 2)(-1)^n-1

Passo 4

Aplicando a1=1, temos a1-2=-1 e
an = 2 - (-1)^n-1 = 2 + (-1)^n
Isso faz a sequência oscilar entre 1 e 3, sem aproximar‐se de um único valor. Portanto ela é divergente.

Passo 5

Se agora tomarmos a1=2, então a1-2=0 e da fórmula
an = 2 + 0cdot(-1)^n-1 = 2
para todo n. A sequência fica constante em 2, ou seja, converge para 2.

Resposta

Para a1=1, a sequência alterna entre 1 e 3 e é divergente. Para a1=2, a sequência é constante igual a 2 e converge para 2.

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