Resolver as equações:
log 4(4 x^2+13 x+2)=log 2(2 x+5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! A gente tem uma equação que envolve logaritmos com bases diferentes. O enunciado é:
log4(4 x^2+13 x+2) = log2(2 x+5)
Aqui, estamos trabalhando com logaritmos, que fazem parte da matéria de funções logarítmicas e equações exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e manipular as equações para encontrar o valor de x .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que podemos transformar a base do logaritmo para facilitar a comparação. Sabemos que 4 é 2^2 , então podemos usar a propriedade de mudança de base dos logaritmos:
logb^k a = 1k logb a
Aplicando isso na nossa equação:
log4(4 x^2+13 x+2) = 12 log2(4 x^2+13 x+2)
Então, nossa equação fica:
12 log2(4 x^2+13 x+2) = log2(2 x+5)

Passo 3

Para simplificar, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2 para tirar aquele 12 :
log2(4 x^2+13 x+2) = 2 log2(2 x+5)
Agora, usamos outra propriedade dos logaritmos que diz que a logb c = logb c^a . Aplicando isso ao lado direito:
log2(4 x^2+13 x+2) = log2((2 x+5)^2)

Passo 4

Agora que os logaritmos estão com a mesma base (base 2) e logaritmos iguais, podemos igualar os argumentos:
4 x^2 + 13 x + 2 = (2 x + 5)^2
Vamos expandir o lado direito:
(2 x + 5)^2 = 4 x^2 + 20 x + 25
Então, nossa equação fica:
4 x^2 + 13 x + 2 = 4 x^2 + 20 x + 25

Passo 5

Agora, vamos simplificar essa equação subtraindo 4 x^2 de ambos os lados:
13 x + 2 = 20 x + 25
Em seguida, subtraímos 13 x de ambos os lados:
2 = 7 x + 25
Agora, subtraímos 25 de ambos os lados:
-23 = 7 x

Passo 6

Por fim, isolamos x dividindo ambos os lados por 7:
x = -237

Resposta

A solução da equação é x = -dfrac237 .

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