Resolver as equações:
3^x-1-53^x+1=4 cdot 3^1-3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
3^x-1 - 53^x+1 = 4 cdot 3^1-3x
O conteúdo envolve propriedades de potências e uma mudança de variável para simplificar. Vamos usar 3^x como variável auxiliar e depois voltar para x.

Passo 2

Definimos t = 3^x, que é sempre positivo. Então:
3^x-1 = 3^x3 = t3,
53^x+1 = 53cdot 3^x = 53t,
4 cdot 3^1-3x = 4cdot 3^1 cdot 3^-3x = 12cdot (3^-x)^3 = 12t^3
Substituindo tudo na equação original:
t3 - 53t = 12t^3

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por 3t^3 para eliminar denominadores:
t3 cdot 3t^3 - 53t cdot 3t^3 = 12t^3 cdot 3t^3
Que vira
t^4 - 5t^2 = 36
Ou seja
t^4 - 5t^2 - 36 = 0
Fazendo a mudança y = t^2, obtemos a equação quadrática
y^2 - 5y - 36 = 0

Passo 4

Resolvendo para y: o discriminante é De, logo
y = 5 pm 132 implies y1 = 9, y2 = -4
Como y = t^2 >= 0, descartamos y2. Ficamos com t^2 = 9, ou seja t = 3 (descartamos t=-3 pois t=3^x>0). Assim
3^x = 3 implies x = 1

Passo 5

Verificamos rapidamente na equação original: à esquerda
3^1-1 - 53^1+1 = 1 - 59 = 49,
e à direita
4cdot3^1-3 = 4cdot3^-2 = 49
Confere!

Resposta

x = 1

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