Resolver as equações:
8^2 x+1=(raiz[3]16)^2 x-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação juntos! O problema que temos é:
8^2x + 1 = (raiz[3]16)^2x - 1
Aqui, estamos lidando com equações exponenciais, que envolvem potências com variáveis no expoente. Para resolver isso, vamos precisar transformar as bases para que sejam iguais, facilitando a comparação dos expoentes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as bases para uma base comum, se possível. Olhando para os números 8 e 16, percebemos que ambos são potências de 2. Vamos reescrever cada um na base 2:
  • 8 é igual a 2^3, porque 2 times 2 times 2 = 8.
  • 16 é igual a 2^4, já que 2 times 2 times 2 times 2 = 16.
Então, substituindo na equação original:
(2^3)^2x + 1 = (raiz[3]2^4)^2x - 1

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada lado da equação usando a propriedade das potências que diz (a^b)^c = a^b times c:
  • Do lado esquerdo: (2^3)^2x + 1 = 2^3(2x + 1) = 2^6x + 3
  • Do lado direito: Primeiro, a raiz cúbica de 2^4 é 2^4/3 (porque raiz[3]a^b = a^b/3). Então:
(2^4/3)^2x - 1 = 2^(4/3)(2x - 1) = 2^8x - 43
Agora nossa equação está assim:
2^6x + 3 = 2^8x - 43

Passo 4

Como as duas potências têm a mesma base (2), podemos igualar os expoentes:
6x + 3 = 8x - 43
Agora, vamos resolver essa equação linear para encontrar o valor de x.

Passo 5

Primeiro, eliminamos a fração multiplicando ambos os lados por 3:
3(6x + 3) = 8x - 4
Distribuindo o 3:
18x + 9 = 8x - 4
Agora, vamos isolar x. Subtraia 8x de ambos os lados:
18x - 8x + 9 = -4
Isso simplifica para:
10x + 9 = -4
Em seguida, subtraia 9 de ambos os lados:
10x = -4 - 9
10x = -13
Por fim, divide ambos os lados por 10:
x = -1310

Resposta

O valor de x que resolve a equação é:
x = -1310

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