Nos exercícios 33 a 36 , determine o comprimento de arco do gráfico de r(t).
r(t)=t^2 i+(cos t+t sen t) j+
(sen t-t cos t) k ; 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco do traço da curva parametrizada por
r(t)=t^2,i+l(cos t + tsin tr),j+l(sin t - tcos tr),k
no intervalo 0<= t<= 2pi.
O conteúdo é cálculo de comprimento de arco de curva no espaço, que envolve (1) calcular r'(t), (2) achar a sua norma |r'(t)| e (3) integrar |r'(t)| de 0 a 2pi.

Passo 2

Vamos derivar componente a componente:
r'(t) =l(2t,;-sin t+sin t+tcos t,;cos t-cos t+tsin tr) =l(2t,;tcos t,;tsin tr)

Passo 3

Agora calculamos a norma de r'(t):
|r'(t)| =raiz(2t)^2+(tcos t)^2+(tsin t)^2 =raiz4t^2+t^2(cos^2t+sin^2t) =raiz5t^2 =raiz5,t,
já que t>=0 no intervalo dado.

Passo 4

O comprimento de arco L é
L=integral0^2pi|r'(t)|,dt =integral0^2piraiz5,t,dt =raiz5,gl[t^22gr]0^2pi =raiz5,(2pi)^22 =2pi^2raiz5

Resposta

O comprimento de arco é 2pi^2raiz5.

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