Determine se a sequência a_{n}=\frac{n}{n^{2}+1} é monótona. Justifique sua resposta analisando a função f(x)=\frac{x}{x^{2}+1} ou comparando os termos a_{n+1} e a_{n}.

Passo 1

Resumimos o enunciado: dada a sequência
a_{n} = \frac{n}{n^{2}+1}
queremos verificar se ela é monótona. Vamos usar o conteúdo de cálculo de derivadas aplicadas à função
f(x) = \frac{x}{x^{2}+1}
para inferir a monotonicidade de a_{n}.

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Usando a regra do quociente,
f'(x) = \frac{(1)(x^{2}+1) - x\,(2x)}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{x^{2}+1 - 2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} = \frac{1 - x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 3

Analisamos o sinal de f'(x):
  • Se 0 < x < 1, então 1 - x^{2}>0 e f'(x)>0.
  • Se x=1, então f'(1)=0.
  • Se x>1, então 1 - x^{2}<0 e f'(x)<0.

Passo 4

Como os índices n são inteiros positivos e satisfazem n\ge1, temos sempre n>1 ou n=1. Em todos os casos com n\ge1, o fato de f'(x)\le0 para x\ge1 implica que f é não crescente em [1,\infty). Para inteiros consecutivos isto dá
a_{n+1} = f(n+1) < f(n) = a_{n}
para todo n\ge1. Logo a sequência é estritamente decrescente.

Resposta

A sequência \,a_{n}=\frac{n}{n^{2}+1}\, é estritamente decrescente.

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