Investigue a convergência das seguintes sequências utilizando o limite do termo geral. Se convergir, determine o valor do limite.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para investigar a convergência usando o limite do termo geral. O conteúdo aqui é comparação entre crescimento polinomial e exponencial e uso do critério da razão para sequências.
Passo 2
Em geral, se o denominador de uma sequência cresce exponencialmente e o numerador cresce polinomialmente, espera-se que o limite seja zero, pois a exponencial domina o polinomial. Para tornar isso rigoroso, podemos usar o critério da razão: se
satisfaz
, então
.
Passo 3
Calculamos a razão entre termos consecutivos:
Como
quando
, temos
Passo 4
Pelo critério da razão,
implica que
. Logo a sequência converge e seu limite é zero.
Resposta
A sequência converge e