Investigue a convergência das seguintes sequências utilizando o limite do termo geral. Se convergir, determine o valor do limite.
b_{n}=\frac{n^{3}}{e^{n / 2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
b_{n} = \frac{n^{3}}{e^{n/2}}
e pede para investigar a convergência usando o limite do termo geral. O conteúdo aqui é comparação entre crescimento polinomial e exponencial e uso do critério da razão para sequências.

Passo 2

Em geral, se o denominador de uma sequência cresce exponencialmente e o numerador cresce polinomialmente, espera-se que o limite seja zero, pois a exponencial domina o polinomial. Para tornar isso rigoroso, podemos usar o critério da razão: se
L = \lim_{n\to\infty} \frac{b_{n+1}}{b_{n}}
satisfaz L<1, então b_{n}\to0.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
\frac{b_{n+1}}{b_{n}} = \frac{\frac{(n+1)^{3}}{e^{(n+1)/2}}}{\frac{n^{3}}{e^{n/2}}} = \frac{(n+1)^{3}}{n^{3}}\;e^{-1/2}\,.
Como \frac{(n+1)^{3}}{n^{3}} = \bigl(1+\frac1n\bigr)^{3}\to1 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_{n}} = 1\cdot e^{-1/2} = e^{-1/2} < 1.

Passo 4

Pelo critério da razão, L = e^{-1/2}<1 implica que b_{n}\to0. Logo a sequência converge e seu limite é zero.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} b_{n} = 0.

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